CAMBIO DE BASE

Cambio de base en espacios vectoriales y sus duales Sea un espacio vectorial de dimensión finita . Consideremos en una ``antigua base y una ``nueva base . Rigen unas relaciones:

 (1)

La matriz:

de tipo se llama la MATRIZ DE TRANSICIÓN DE LA ANTIGUA BASE #MATH2681# DE A LA NUEVA BASE . Puesto que es una familia linealmente independiente en , la matriz es una matriz inversible. Introducimos también las bases de duales de sendas bases de . Sea el único endomorfismo lineal de tal que:

 (2)



es de hecho un automorfismo lineal de . Ya que por (1) y (2):

la matriz de transición es la matriz del automorfismo con respecto a la antigua base de E. Aplicando el operador a ambos miembros de (1), obtenemos:

o sea, teniendo en cuenta (2):

 (3)

Estas fórmulas muestran que la matriz de transición es también la matriz del automorfismo con respecto a la nueva base de . Pasemos al automorfismo dual de . Por el teorema 2.2.6 las fórmulas (3) equivalen a:

 (4)

Por otra parte, en virtud de (2)

de donde:

 (5)

Comparando con (4), obtenemos la fórmula ``dual’‘ de (1):

 (6)

Al pasar de (1) y (6) notamos un ``doble fenómeno de inversión’‘, a saber: Las fórmulas (1) expresan los elementos de la nueva base de en función de la antigua base. Pero las fórmulas (6) expresan los elementos de la antigua base dual de en función de la nueva. En cada fórmula (1) se fija el índice inferior (índice de columna) de . Pero en cada fórmula (6) es fijo el índice superior (índice de fila) de ; o, si se quiere: La fórmula número en (1) pone en obra la columna número de .

La fórmula número en (6) pone en obra la fila número de .